درسنامه آموزشی فصل پنجم ریاضی کلاس نهم

1- در جاهای خالی نمادهای > یا < را جایگزین کنید.

الف) $a-b=1$ در این صورت $a \gt b$.    زیرا؛ $a=b+1$

ب) اگر $u-v=-2$ در این صورت $u \lt v$.    زیرا؛ $v=u+2$

ج) اگر $2(p-1)=2q-3$ در این صورت $p \lt q$.    زیرا؛ $2p-2=2q-3\Rightarrow 2p+1=2q\Rightarrow p+\frac{1}{2}=q$

د) اگر $\frac{a-b}{2}=-3$ در این صورت $a \lt b$.    زیرا؛ $a-b=-6\Rightarrow b=a+6$

2- علامت عددهای حقیقی $c ، b ، a$ را طوری تعیین کنید که نابرابری‌های زیر برقرار باشد:

$\frac{ac}{{{b}^{2}}} \lt 0$ (الف

اگر فقط یکی از متغیرهای a یا c منفی باشند، نابرابری برقرار است. 

$\frac{a}{bc} \gt 0$ (ب

اگر همۀ متغیرها مثبت باشند یا دو متغیر منفی و یکی مثبت باشد، نابرابری برقرار است.    

$ab \gt 0$ (ج

اگر هر دو متغیر مثبت باشند یا هر دو منفی باشند، نابرابری برقرار است.    

$\frac{{{a}^{2}}}{bc} \gt 0$ (د

اگر هر دو متغیر b و c مثبت باشند یا هر دو منفی باشند، نابرابری برقرار است.    

3- مجموعه جواب نامعادله‌های زیر را به دست آورید.

$2(x-3)+5 \lt 5-x$ (الف

$\begin{align}
  & \to 2x-6+5 \lt 5-x\xrightarrow{+(-5)}2x-6 \lt -x\xrightarrow{+x}3x-6 \lt 0 \\
 & \xrightarrow{+6}3x \lt 6\xrightarrow{\div 3}x \lt 2\to D=\left\{ x\in \mathbb{R}|x \lt 2 \right\} \\
\end{align}$

$3-2x\ge 5(3-2x)$ (ب

$\begin{align}
  & \to 3-2x\ge 15-10x\xrightarrow{+(-15)}-12-2x\ge -10x\xrightarrow{+2x}-12\ge -8x \\
 & \xrightarrow{\div (-8)}\frac{12}{8}\le x\to D=\left\{ x\in \mathbb{R}|x\ge \frac{3}{2} \right\} \\
\end{align}$

$\frac{y-3}{4}-1 \gt \frac{y}{2}$ (ج

$\begin{align}
  & \xrightarrow{\times 4}y-3-4 \gt 2y\to y-7 \gt 2y\xrightarrow{+(-y)}-7 \gt y \\
 & \to D=\left\{ y\in \mathbb{R}|y \lt -7 \right\} \\
\end{align}$

$-2-\frac{q}{4}\le \frac{1+q}{3}$ (د

$\begin{align}
  & \xrightarrow{\times 12}-24-3q\le 4+4q\xrightarrow{+3q}-24\le 7q+4 \\
 & \xrightarrow{+(-4)}-28\le 7q\xrightarrow{\div 7}\frac{-28}{7}\le q \\
 & \to D=\left\{ q\in \mathbb{R}|q\ge -4 \right\} \\
\end{align}$

4- اگر ${{a}^{2}}\gt {{b}^{2}}$ آیا همواره می‌توان نتیجه گرفت، $a>b$؟

خیر، برای مثال اگر $a=-3$ و $b=2$ باشد آنگاه داریم ${{a}^{2}}=9$ و ${{b}^{2}}=4$ که ${{a}^{2}} \gt {{b}^{2}}$ ولی $a \lt b$
در حالت کلی برای یافتن پاسخ‌های این نامعادله داریم:

${{a}^{2}} \gt {{b}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \gt 0\Rightarrow (a-b)(a+b) \gt 0$

بنابراین در صورتی این نامعادله برقرار است که هر دو عامل ضرب مثبت باشند یا هر دو منفی باشند. اگر هر دو عامل مثبت باشند، داریم؛ 

$\left. \begin{align}
  & a-b \gt 0\Rightarrow b \lt a \\
 & a+b \gt 0\Rightarrow b \gt -a \\
\end{align} \right\}\Rightarrow -a \lt b \lt a$

اگر هر دو عامل منفی باشند، داریم؛

$\left. \begin{align}
  & a-b \lt 0\Rightarrow a \lt b \\
 & a+b \lt 0\Rightarrow b \lt -a \\
\end{align} \right\}\Rightarrow a \lt b \lt -a$

بنابراین در هر صورت کافی است که b بین a و قرینۀ آن قرار داشته باشد تا نامعادله برقرار باشد.

5- اگر $a,b \gt 0$ و ${{a}^{2}} \gt {{b}^{2}}$ نشان دهید، $a \gt b$ (از اتحاد مزدوج کمک بگیرید.)

$\begin{align}
  & {{a}^{2}} \gt {{b}^{2}}\Rightarrow {{a}^{2}}-{{b}^{2}} \gt 0\Rightarrow (a-b)(a+b) \gt 0\xrightarrow{a,b \gt 0}(a-b)\overbrace{(a+b)}^{+} \gt 0 \\
 & a-b \gt 0\Rightarrow a \gt b \\
\end{align}$

6- عبارت‌های کلامی زیر را به زبان ریاضی بنویسید.
الف) اگر پول علی را سه برابر کنیم، حداقل 300 تومان از دو برابر پولش بیشتر می‌شود.

$3x\ge 2x+300$

ب) مجموع نصف عدد a و چهار برابر عدد b، حداکثر 6 واحد است.

$\frac{a}{2}+4b\le 6$

7- دو نفر با وزن‌های 85 و 65 کیلوگرم به جنگلی رفتند. آنها در این جنگل به منابع غذایی دسترسی ندارند. برای همین همراه خود مواد غذایی‌ای برده‌اند که 4500 کیلوکالری انرژی دارد. اگر فرض کنیم هر انسان روزانه حداقل به اندازهٔ سه برابر وزن خود انرژی نیاز دارد، آنها حداکثر چند روز می‌توانند با مواد غذایی خود در جنگل دوام بیاورند؟
وزن هر دو نفر با هم برابر 150 کیلوگرم است و لذا هر روز حداقل به اندازۀ 450 کیلوکالری انرژی نیاز دارند. اگر فرض کنید n روز در جنگل دوام بیاورند در این مدت حداقل به $450n$ کیلو کالری انرژی نیاز دارند. بنابراین؛

$450n\le 4500\xrightarrow{\div 450}n\le 10$

پس، کمتر از 10 روز دوام می‌آورند.